Capítulo 2
Os Começos da Matemática na Grécia
Tales foi o primeiro a ir ao Egipto e a trazer para a Grécia este estudo [geometria];
ele próprio descobriu muitas proposições, e revelou os princípios subjacentes
a muitas outras para os seus sucessores, nalguns casos com um método mais geral,noutros mais empírico.
Sumário de Proclo (c. 450) da História de Eudemo (c. 320 a. C.)
Um relatório de uma visita ao Egipto com Platão escrito por Símias de Tebas em 379 a.C. (a partir de uma dramatização por Plutarco de Queroneia (primeiro/segundo século d.C.): "No nosso regresso do Egipto um grupo de délios veio ao nosso encontro... e pediu a Platão, enquanto geómetra, que resolvesse um problema que lhes tinha sido colocado pelo deus de um estranho oráculo. O oráculo era como segue: Os actuais problemas dos délios e do resto dos gregos terminariam quando duplicassem o altar em Delos. Como não só não conseguiam penetrar no seu significado, como falharam absurdamente na construção do altar..., pediram ajuda a Platão na sua dificuldade. Platão... respondeu que o deus estava a ridicularizar os gregos pela sua negligência na educação, escarnecendo, desta maneira, da nossa ignorância e incitando-nos a envolvermo-nos num estudo da geometria que não fosse apenas o necessário para resolver o problema; pois nenhuma inteligência vulgar ou de vistas curtas, mas sim uma bem versada na disciplina, conseguiria descobrir dois meios proporcionais, sendo essa a única forma de duplicar em forma um corpo cúbico com um incremento semelhante em todas as dimensões. Isto seria feito para eles por Eudoxo de Cnido...; eles não iriam, contudo, supor que era isto que este deus desejava, mas antes que este estava a ordenar a toda a nação grega para desistir da guerra e das suas infelicidades e cultivar as Musas, e que acalmassem as suas paixões através da prática do debate e estudo da matemática, de forma a viverem uns com os outros de uma maneira em que as suas relações não fossem injuriosas mas proveitosas.'
Como a citação e o relato (muito provavelmente) ficcional nos indicam, uma nova atitude para com a matemática apareceu na Grécia algum tempo antes do século quarto antes de Cristo. Já não bastava apenas calcular as respostas numéricas aos problemas: agora tinha-se que provar que os resultados estavam correctos. Duplicar um cubo - isto é, encontrar um novo cubo cujo volume seja o dobro do original - é equivalente a determinar a raiz cúbica de 2, e esse não é um problema difícil numericamente. O oráculo, contudo, não estava preocupado com o cálculo numérico, mas sim com a construção geométrica. Isso, por sua vez, dependia de prova geométrica através de argumentação lógica.
Esta mudança na natureza da matemática, iniciada em cerca de 600 a.C., esteve relacionada com as grandes diferenças entre a civilização grega emergente e as civilizações do Egipto e da Babilónia.
(...)
Capítulo3
Arquimedes e Apolónio
O terceiro livro [Cónicas] contém muitos teoremas notável e úteis para a síntese dos lugares sólidos...;
a maior parte e os mais belos destes teoremas são novos, e foi a sua descoberta que me fez tomar consciência de que Euclides não calculou a síntese do lugar geométrico em relação a três ou quatro linhas...; de facto não era possível que a dita síntese fosse completada sem a ajuda de teoremas adicionais descobertos por mim.
(Prefácio do Livro I das Cónicas de Apolónio)
A seguinte história é contada por Vitrúvio: “Depois das suas vitórias [Hierão, rei de Siracusa no terceiro século a.C.] decidiu implantar num certo templo uma coroa de ouro consagrada aos deuses imortais Pôs a concurso a sua execução no que respeita ao preço a pagar aos artífices e forneceu ao adjudicado a quantidade exacta de ouro. Na altura prevista, o homem apresentou o trabalho admiravelmente forjado à aceitação do rei e, aparentemente tinha conseguido o peso pretendido da coroa No entanto, circulou a informação de que tinha sido retirado ouro e que tinha sido adicionada a mesma quantidade de prata no fabrico da coroa.
Hierão estava indignado por ter sido enganado, e, não conseguindo encontrar um método através do qual pudesse determinar o roubo, pediu a Arquimedes para averiguar a questão. Enquanto Arquimedes estudava o assunto, aconteceu que foi a banhos. Quando se introduzia na banheira observou que transbordava uma quantidade de água igual à quantidade do seu corpo que estava imersa. Uma vez que este facto indicava o método de explicar o caso não se deteve, com satisfação saltou para fora da banheira, e regressou a casa despido, pois tinha encontrado exactamente o que procurava. Enquanto corria, gritava em grego: 'Eureka, eureka (Descobri)'.
A matemática grega no terceiro e no início do segundo séculos a.C. foi dominada por duas FIGURAS. Arquimedes de Siracusa (c. 287-212 a.C.) e Apolónio de Perga (c. 250-175 a.C.), cada um HERDEIRO de um aspecto diferente da matemática grega do quarto século. O primeiro deu seguimento AOS métodos de "limite" de Eudoxo e conseguiu não apenas aplicá-los à determinação de áreas e volumes de novas figuras, mas também ao desenvolvimento de novas técnicas que permitem que os resultados sejam prontamente obtidos. Arquimedes, ao contrário dos seus antecessores, não era relutante em partilhar os seus métodos de descoberta, nem tinha receio em realizar cálculos e exibir resultados numéricos. Além do mais, Arquimedes escreveu vários tratados apresentando modelos matemáticos daquilo a que chamaríamos física teórica e aplicou os seus princípios físicos à invenção de dispositivos mecânicos.
Apolónio, por seu lado, era magistral na generalização do domínio da análise a novos e difíceis PROBLEMAS de construções geométricas. Como fundamento para estas novas abordagens, criou a sua obra-prima Cónicas, uma obra em oito livros desenvolvendo sinteticamente as propriedades importantes destas curvas, propriedades que eram centrais no desenvolvimento de novas soluções para problemas como a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo.
Este capítulo abrangerá os trabalhos sobreviventes destes dois matemáticos, assim como o trabalho de outros que consideraram problemas análogos.
3.1 ARQUIMEDES E A FÍSICA
Arquimedes foi o primeiro matemático a deduzir resultados quantitativos a partir da criação de modelos matemáticos de problemas físicos na Terra. Em particular, Arquimedes é responsável pela primeira prova da lei da alavanca (Fig. 3.1) e pela sua aplicação à determinação de centros de gravidade, assim como pela primeira prova do princípio básico da hidrostática e algumas das suas aplicações mais importantes.
3.1.1 A lei da alavanca
Todos estamos familiarizados com o princípio da alavanca, tendo já brincado na infância com um baloiço oscilante constituído por uma tábua que oscila num eixo horizontal que passa a meio, sentando-se nas extremidades duas crianças. Pesos iguais a distâncias iguais do fulcro da balança equilibram-se e uma criança mais leve pode equilibrar uma criança mais pesada se se colocar a uma maior distância. Os antigos estavam bem cientes deste princípio. A lei aparece mesmo num trabalho de mecânica atribuído a Aristóteles: "Visto que o raio maior se move mais rapidamente que o menor com pesos iguais, e há três elementos na alavanca, o fulcro ... e dois pesos, o que se move e o que é movido, portanto, a razão do peso movido para o peso em movimento é o inverso das suas distâncias do fulcro."3
Tanto quanto se sabe, ninguém antes de Arquimedes criou um modelo matemático da alavanca, através do qual se pudesse deduzir uma prova matemática da respectiva lei. Em geral, a dificuldade em aplicar matemática a problemas físicos é que a situação física é com frequência bastante complicada. Portanto, a situação precisa de ser idealizada. Ignoramos os aspectos que parecem menos importantes e concentramo-nos nas variáveis essenciais do problema físico. Esta idealização é referida hoje em dia como a criação de um modelo matemático. A alavanca é o exemplo em consideração. Para lidar com ele seria necessário considerar não apenas os pesos aplicados nas extremidades e as suas distâncias ao fulcro, mas também o peso e a composição da própria alavanca. Pode ser mais pesada numa extremidade que na outra. A sua espessura pode variar. Pode dobrar ligeiramente - ou mesmo quebrar - quando certos pesos são aplicados em certos pontos. Acresce que o fulcro é também um objecto físico com um certo tamanho. De algum modo, a alavanca pode escorregar ao longo do fulcro, podendo não ser claro a partir de que ponto deva ser medida a distância dos pesos. A inclusão de todos estes factores numa análise matemática da alavanca tornaria a questão extremamente difícil. Arquimedes simplificou, portanto, a situação física. Supôs que a alavanca era rígida, mas sem peso, e que o fulcro e os pesos eram pontos matemáticos. Foi, então, capaz de estabelecer os princípios matemáticos da alavanca.
Notemos que, nem nos postulados nem nos teoremas, existe qualquer menção à própria alavanca. Limita-se a estar lá. O seu peso não figura nos cálculos. Arquimedes supôs, de facto, que a alavanca é rígida e sem peso. O seu único movimento é a inclinação para um lado ou para o outro.
Na sequência das proposições de Arquimedes que conduzem à lei da alavanca, as duas primeiras são muito simples:
PROPOSIÇÃO l São iguais os pesos que se equilibram a distâncias
iguais.
PROPOSIÇÃO 2 Pesos diferentes a distâncias iguais não se equilibrarão, mas irão antes inclinar-se na direcção do peso maior.
A prova do primeiro resultado foi feita por redução ao absurdo. Pois se os pesos não forem iguais, retire do maior a diferença entre os dois. Pelo Postulado 3, as partes restantes não se equilibrarão. Isto contradiz o Postulado l, visto que temos agora pesos iguais a distâncias iguais. A nossa hipótese original deverá, então, ser falsa. Para provar a Proposição 2, retire novamente do peso maior a diferença entre os dois.
Devido ao Postulado l, as partes restantes equilibrar-se-ão. Portanto, se se adicionar a diferença entre os dois, a alavanca inclinar-se-á em direcção ao maior, pelo Postulado 2.
PROPOSIÇÃO 3 Suponhamos que AeB são pesos diferentes com A> B que equilibram no ponto C. Seja AC = a, BC = b. Então a < b. Reciprocamente, se os pesos se equilibrarem e a < b, então A> B
Nota de Gil M:
Segue-se uma parte que interessa sobretudo aos Matemáticos (Estudantes, professores, etc.)
Para voltar ao AMOR PELOS LIVROS clique aqui